Cet article est une introduction au calcul et à l’optimisation sur les matrices symétriques positives semi-définies de rang (faible) fixé. L’approche proposée est basée sur deux géométries riemanniennes quotient, qui permettent de calculer efficacement tout en préservant le rang et le caractère positif des matrices considérées. Le champ d’applications est vaste, et l’article survole quelques développements récents qui illustrent l’intérêt de l’approche considérée dans les problèmes de très grande taille rencontrés en contrôle, statistiques, et apprentissage.